It functions as a highly informal imperative. It is associated with a feeling of urgency on the part of the speaker.
It is not a phonetic alteration of another imperative construction (such as the -te or -e (ro) constructions , but is instead derived from the perfective function of the past tense marker -ta and its modal use in expressing the attitude of the speaker towards a given situation.
5 comments
Axel Svahn has written about this construction in detail, including summaries of other scholars’ viewpoints:
Imperative -ta in colloquial Japanese: A descriptive analysis (Bachelors’ thesis, 2007)
https://lup.lub.lu.se/student-papers/search/publication/1322097
what -ta is:
It functions as a highly informal imperative.
It is associated with a feeling of urgency on the part of the speaker.
It is not a phonetic alteration of another imperative construction (such as the -te or -e (ro) constructions , but is instead derived from the perfective function of the past tense marker -ta and its modal use in expressing the attitude of the speaker towards a given situation.
この「―た」は昔の日本語で命令文に使われたそうです。「ちょっと待った」っていうのもこれが出生です。入った入ったは聞いたことないけどそういうことなんじゃないですかね。
「どうぞ入って」は「あなたを歓迎しますよ入ってください。」という許可
「入った入った。」は「私があなたに入ってもらいたいのだから遠慮しないで入って」という歓迎の意識表示ですね。
「さぁ、お買い得だよ！買った買った！」もそうだし、「何も買わないなら、帰った帰った！」も同じ例ですね。
相撲の「のこった、のこった」も、土俵の中に残れ！、留まれ！という意味らしいです。
「〜してしまえ！」という言葉で置き換えられると思います。
他の方がおっしゃってるのの他にも、「帰った帰った」というパターンもありますね。
あと、少し脱線しますが、「バカ言え！」と言うと「バカ言うな！」という意味なのですが(笑)、ご存知ですか？
ちなみに、「ご教授ください」でも通じますが、「ご教示ください」のほうが自然だと思います。